初中抛物线公式讲解(中考常见的抛物线)

如图， 在坐标平面内， 抛物线y=ax^2+bx+1交y轴于A, 交x轴于B(4,0),交AD于D(3,5/2), 过D作DC⊥x轴， 垂足为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P在线段OC上(不与O,C重合), 过P作PN⊥x轴， 交AD于M, 交抛物线于N, 连接CM, 求△PCM面积的最大值；

(3)若P是x轴正半轴上的动点， 设OP=t, 是否存在t, 使以点M, C, D, N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求点P的坐标； 如果不存在，请说明理由.

分析：(1)纯属送分题，直接运用待定系数法，第一步设函数解析式，已给，有两个系数未知，需要两个点，也已给；第二步代入已知两点(在函数图像上)的坐标，列二元一次方程组；第三步解二元一次方程组就可以了。这是非常基础的题目。

(2)这是要用△PCM的面积表示点P的横坐标的函数。一般是一个二次函数，因为二次函数开口向下时，必有最大值。这是思路，但未必如此，按这个思路进行下去，随机应变。

为了得到△PCM的高，或者说它的一条直角边PM，先求直线AD的解析式；

设 点P的坐标，用含点P的横坐标的式子表示PM和PC的长。

根据直角三角形面积等于两条直角边积的一半，就可以列得关于点P的横坐标的函数，这个函数表示的就是△PCM的面积，且正好是一条开口向下的抛物线，利用顶点式，求得PCM的最大值。

(3)若四边形MNDC是平行四边形， 则必有MN=CD，这是平行四边形对边相等的定理。也是平行四边形的必要条件。只要 抓住这样的一个必要条件去突破就可以了。

分别用点P的横坐标表示MN和CD的长，就可以列得关于点P的横坐标的方程，解方程，就可以了。

不过这里求MN的长，却有两种情形，这是千万要注意的。因为N点可能在M点的上方，也可能在M点的下方。这取决于点P在C点的左侧还是右侧。虽然有可能有一种情形不存在，但必须要说明。

下面是解题过程，请对照上面分析的内容，自己领会。

解：(1)列方程组｛16a+4b+1=0, 9a+3b+1=2.5｝

解得{a=-3/4, b=11/4}

∴抛物线的解析式为：y=-3x^2/4+11x/4+1.

解：(2)直线AD的解析式为：y=x/2+1, (由图可知其在y轴的截距就是抛物线在y轴的截距，因此参数b=1, 将D点的坐标代入y=kx+1求k，或者用D点和A点的纵坐标差除以横坐标差求k)，

设P(t,0), 则PM=t/2+1, PC=3-t,

S△PCM=PC·PM/2=(t/2+1)(3-t)/2

=3t/4+3/2-t^2/4-t/2= -t^2/4+t/4+3/2

= -(t-1/2^)2/4+25/16,

当t=1/2时， S△PCM=25/16最大.

（3）若四边形MNDC是平行四边形，则MN=CD,

当P(t,0)在C点的左侧时，

(-3t^2/4+11t/4+1)-(t/2+1)=5/2

化简得：-3t^2+9t-10=0,

△=81-120<0, t不存在.

当P点在C点的右侧时， (t/2+1)-(-3t^2/4+11t/4+1)=5/2,

化简得： 3t^2-9t-10=0,

解得：t1=(9+根号201)/6, t2=(9-根号201)/6 (负数不符合题意，舍去).