向量乘法计算公式介绍(两个向量的数量积为什么会是数量)

上几篇《白话高中数学》聊完了向量怎么来的、向量的基本概念，也知道了向量如何进行加法运算，今天我们一起聊聊向量的相乘问题。

从几何角度来说，向量的加法遵从“三角形法则”和“平行四边形法则”，也知道向量相加遵从加法交换律、分配率和结合律，那根据这个规则，如果有三个AB向量相加，就会是这样：

这种计算称为向量的数乘，也符合我们的基本认知，因为我们熟悉的数字运算就是这样子：n个数相加，就等于这个数乘以n。

搞清楚了向量的加法和数乘，接下来就必须学习下向量相乘的问题。

两个数相乘还是一个数，那两个带有方向的向量相乘会得到一个什么结果呢？

我们的中学课本给出了一个向量相乘的公式，称为向量的数量积，它说两个向量相乘，其结果是一个数量，没有方向。

也就是这个公式：

其中这个角是指两个向量之间的夹角。

用文字解释就是：两个向量的数量积等于两个向量的“模”相乘，然后再乘以两个向量之间夹角的余弦。

这看起来是一个很奇怪的定义，对不对？

首先两个带有方向的量相乘，得到的结果只是一个数量，方向却凭空消失了？这样显得很神奇不是吗？

它至少颠覆了我们最朴素的认知，觉得这里面肯定有蹊跷。

第二，两个有向线段相乘只是让它们之间的长度相乘，得到一个数也就罢了，还牵涉到两个有向线段夹角的余弦值，这个更让人觉得莫名其妙。

对的，就是有这种莫名其妙的感觉。

两向量相乘的数量积为什么这么定义？有什么原因？这样定义的意义是什么？

一系列问题萦绕在脑中，挥之不去。

课本的解释很简单，它用了物理上一个斜方向的力拉动一个木块，最后木块移动了一段位移，说力和位移这两个向量的数量积就相当于力在水平方向上的分量对木块做的功。

这解释多少有点牵强，它们之间八竿子打不着啊？

用作用力的分量和位移乘积我还可以理解的，但方向去哪儿了？为什么会凭空消失？

最让人迷惑的是我们的数学老师，他们会非常卖力的拿这个课本上的物理现象类比，进行数学课堂上的讲解，当看到同学们迷惑的眼神时，自己也会显得不那么自信，但最后说出的却是“这么简单的问题你们怎么就不明白呢？”这样一句胡话。

可是我就是不明白呀，你要想让我明白，最起码你得告诉我，它们相乘之后的方向去哪了吧？

这个问题至少在中学课堂中没有得到让人满意的回答。

这个问题的最后结局一般是这样：老师告诉你，向量的数量积就这么规定的，你记住就行了。

别的不说，“向量的数量积就是这么规定的”这句话还是相当靠谱的。

老师虽然没有告诉你为什么这么规定，但他至少告诉了我们问题的实质，其实就是数学上“规定”的问题。

但为什么这么规定，大部分老师没有说。即使有进一步解释的，也是采用大学课程里面的向量“点乘”和“叉乘”来云里雾里一番，最后学生只能“哦哦哦”的样子，把问题留待大学课程里再解决。

其实，中学老师的这种解释已经相当努力，相当靠谱了，他们只是没有举出一个让中学生能够理解的例子来辅助学生理解这个定义而已。

为了解释清楚这个问题，我们先退回到对两个数相乘的基本理解：

对于3乘以4，我们的理解其实有两个方向：

1、 3*4，我们可以理解为4个3相加，最后的结果就是3*4=12。

这种解释没毛病。因为从数轴上看，结果就是如此，符合逻辑，非常直观。

2、 我们现在跳出数轴的一维角度，从一个平面的二维角度来看，3*4也可以代表求一个长和宽分别为3和4的矩形的面积。

OK，也就是说，对两个数相乘的结果的解释，其实是存在两个不同取向的：

在一维角度得到的是n个数相加；

在二维的角度得到是矩形平面的面积。

也就是说，即使是两个只存在数轴上的一维空间的数量相乘，不但可以得到一维空间的数量，也可以扩展得到二维空间的数量。

那么两个既有数量又带有方向的向量相乘，它们得到的结果，是不是也可以在不同的维度空间得到不同的解释呢？

答案是肯定的。

两个有方向的向量相乘，有两种方式：

1、两个向量可以是一维空间的向量（没有夹角），也可以是二维空间的向量（有夹角），它们相乘得到的结果既可以一维空间的数量关系，也可以得到从二维空间扩展到三维空间的带有方向的数量关系。

也就是说，两个带有方向的向量相乘的结果，也是有两个取向的：

一个是相乘后从二维空间坍缩为一维空间的数量，不再带有方向，就是我们中学课本的数量积的概念（称为“点乘”或者“内积”）。

此时，就必须放弃向量这个有向线段的方向，只是把有向线段的长度相乘：

如果两个向量同向，那它们本来都是一维空间，直接长度相乘就可以，不用坍缩。

如果两个向量有夹角，那就把其中一个向量的长度和另一个向量在这个向量上的投影的长度相乘。

如图：

这样规定的目的只有一个：那就是我就要两个向量相乘之后在一维空间的数量关系而已，其它的我不管。

这就是数量积如此定义的目的所在。

这样强行规定的原因也很简单：第一、 坍缩为一维空间之后，很多的数字运算规律在数量积的计算上依旧可用。

第二、 这种坍缩符合物理标量的计算，能解决能量和矢量之间不可名状的转换问题。

比如力和位移相乘的结果就是一个不带有方向的能量。

第三、 从纯粹数学的角度来说，能通过这种坍缩标定两个向量之间方向上的相似度。

如果是同向，那就是长度相乘；

如果有夹角，而且在锐角范围内，结果就比长度相乘的结果小；

如果是直角，二者相乘结果为0，说明二者垂直，方向一点都不相似；

如果为负数，就说明二者方向方向夹角超过90度或者直接相反。

OK，说完了两个向量相乘结果的坍缩为数量关系的一个取向，我们接着说另外一个：

两向量相乘结果的另一种取向就和3*4扩展为二维空间的矩形面积一样，从平面向量的二维空间，扩展到三维立体空间（称之为“叉乘”或者“外积”）。

从这个意义上说，两个向量相乘的结果就是一个带有方向的量：

它的大小由这两个向量在二维平面围成的平行四边形面积确定，它的方向使用右手定则确定，垂直于这两个向量所在的二维平面。

也就是说，两个向量叉乘的结果是这两个向量决定的二维平面的法向量，它决定了一个在三维空间带有方向的量，这个新的向量的模是两个向量在二维平面构成的平行四边形的的面积。

由于向量叉乘的内容不在我们中学学习的范围之内，这里就不再多说。

总之，向量的数量积只是一个定义，因为课本没有解释它的来源，造成了学生的很多困惑，但愿本篇的这种解释，能对大家解除这种迷惑有所帮助。

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感谢您的阅读。